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Ce que dans la formulation la plus forte et totale le théorème de G±delya n'inflige pas sur T aucunes conditions essentielles sémantiques, et c'est très important de comprendre sa conclusion aussi tout à fait. Considérablement non seulement et non il est tant de parce que parfois nous voulons appliquer le théorème de G±delya aux systèmes incorrects, au moins cela aussi exactement. Considérablement pour l'essentiel pour deux raisons suivantes.

Parmi les théories mathématiques se détachent les théories du premier ordre. Ces théories n'admettent pas dans l'exposition les prédicats, qui ont à titre des arguments les autres prédicats et les fonctions. En outre ne sont pas admis les opérations des prédicats et les fonctions. Les théories du premier ordre s'appellent les théories encore élémentaires.

Que T — le système "convenant" formel, nous supposerons que T. Alors T n'est pas le système complet, i.e. il y a une affirmation G un tel que T ne peut pas de lui ni prouver, ni démentir; de plus, nous pouvons construire tel concret G (appelé " par l'affirmation").

Le problème de la reconnaissance de l'autoapplicabilité. C'est le deuxième problème, la décision positive de qui n'est pas trouvée jusqu'ici. Son essentiel consiste en suivant. On peut coder le programme de la voiture de T'juringa par quelque chiffre défini. Sur la bande de la voiture on peut représenter son chiffre personnel inscrit dans l'alphabet de la voiture. Ici comme en cas du programme ordinaire deux cas sont possibles :

Les théories axiomatiques se divisent sur formel et informel. Les théories informelles axiomatiques sont remplies – le contenu multiple, la notion de la déductibilité eux s'appuie assez vaguement et à un fort degré sur le bon sens.

Le calcul associatif s'appelle l'ensemble de tous les mots dans un certain alphabet avec quelque système final des substitutions admissibles. Pour le devoir du calcul associatif il suffit de donner l'alphabet correspondant et le système des substitutions.

Dire que quelque affirmation est démontrable à T — signifie dire qu'il y a une certaine preuve formelle, qui lui amène. La démontrabilité — la propriété syntaxique, et non sémantique. D'autre part, dire que quelque affirmation est véritable — signifie, dire que si nous l'interprétons selon l'interprétation ordinaire des symboles T (i.e. * nous comprendrons comme "la multiplication", le symbole 0 — comme le nombre 0,. ), nous recevons l'affirmation véritable sur les nombres naturels.

. La langue de la théorie du premier ordre. Nous examinerons un certain alphabet de la théorie la Multitude de mots de cet alphabet s'appelle la multitude d'expressions de la théorie à la Vapeur comprenant l'alphabet et les multitudes des expressions, appellent comme la langue de la théorie.

L'insuffisance du système T est affirmée à titre du résultat seulement dans la troisième version, mais il est facile de voir qu'elle suit à la fois de la conclusion et dans premier deux versions. À eux nous concluons qu'il y a quelque véritable, mais l'affirmation non démontrable. Une telle affirmation T ne prouve pas, mais aussi le démentir prouveront sa négation — elle ne peut pas, car sa négation est fausse, et T (dans premier deux variantes du théorème) est correcte et prouve seulement les affirmations véritables. C'est pourquoi T ne peut pas ni prouver, ni démentir une telle affirmation G et, donc, T est incomplète.